Categorias Derivadas e t-Estruturas: Fundamentos e Aplicações em Álgebra Homológica

# Categorias Derivadas e t-Estruturas em Álgebra Homológica: Uma Análise Sistemática das Construções Trianguladas e suas Aplicações ## Abstract Este artigo apresenta uma análise rigorosa das categorias derivadas e t-estruturas no contexto da álgebra homológica moderna, explorando suas construções fundamentais, propriedades categóricas e aplicações em geometria algébrica e teoria de representações. Investigamos a estrutura triangulada das categorias derivadas $D^b(\mathcal{A})$ de uma categoria abeliana $\mathcal{A}$, estabelecendo conexões profundas com a teoria de feixes perversos, correspondências de McKay derivadas e a conjectura de homological mirror symmetry. Demonstramos que as t-estruturas fornecem uma ferramenta essencial para a decomposição de categorias trianguladas, com aplicações diretas na construção de equivalências derivadas e no estudo de espaços de moduli. Nossos resultados incluem uma caracterização completa das t-estruturas limitadas em $D^b(\text{Coh}(X))$ para variedades projetivas suaves $X$, bem como uma análise da estabilidade de Bridgeland e suas conexões com a geometria enumerativa. Utilizando técnicas de localização de Verdier e teoria de modelos minimais, estabelecemos novos critérios para a existência de t-estruturas não-triviais e exploramos suas implicações para a K-teoria algébrica e cohomologia de Hochschild. **Keywords:** Categorias derivadas, t-estruturas, categorias trianguladas, feixes perversos, estabilidade de Bridgeland, álgebra homológica, geometria algébrica derivada ## 1. Introdução A teoria das categorias derivadas, introduzida por Grothendieck e Verdier na década de 1960, revolucionou a álgebra homológica moderna ao fornecer um framework categórico para o estudo sistemático de complexos e suas quasi-isomorfismos. A construção fundamental da categoria derivada $D(\mathcal{A})$ de uma categoria abeliana $\mathcal{A}$ resolve o problema clássico de inverter formalmente os quasi-isomorfismos na categoria de complexos $\text{Ch}(\mathcal{A})$, estabelecendo assim um contexto natural para a álgebra homológica derivada. A estrutura triangulada intrínseca das categorias derivadas, formalizada através dos axiomas de Verdier [1], fornece o arcabouço matemático essencial para o desenvolvimento de functores derivados, sequências espectrais e teorias de dualidade. Seja $\mathcal{T}$ uma categoria triangulada com functor de translação $[1]: \mathcal{T} \to \mathcal{T}$. Um triângulo distinguido em $\mathcal{T}$ é uma sequência: $$X \xrightarrow{u} Y \xrightarrow{v} Z \xrightarrow{w} X[1]$$ satisfazendo os axiomas (TR1)-(TR4) de Verdier, onde a composição de morfismos consecutivos é zero e a sequência satisfaz propriedades de rotação e completamento específicas. As t-estruturas, introduzidas por Beilinson, Bernstein e Deligne [2] no contexto de feixes perversos, emergem como uma ferramenta fundamental para decompor categorias trianguladas em subcategorias com propriedades homológicas controladas. Uma t-estrutura em $\mathcal{T}$ consiste de um par de subcategorias plenas $(\mathcal{T}^{\leq 0}, \mathcal{T}^{\geq 0})$ satisfazendo: 1. $\mathcal{T}^{\leq 0}[1] \subset \mathcal{T}^{\leq 0}$ e $\mathcal{T}^{\geq 0}[-1] \subset \mathcal{T}^{\geq 0}$ 2. $\text{Hom}_{\mathcal{T}}(X, Y) = 0$ para $X \in \mathcal{T}^{\leq 0}$ e $Y \in \mathcal{T}^{\geq 0}[-1]$ 3. Para todo $X \in \mathcal{T}$, existe um triângulo distinguido: $$\tau^{\leq 0}X \to X \to \tau^{\geq 1}X \to \tau^{\leq 0}X[1]$$ com $\tau^{\leq 0}X \in \mathcal{T}^{\leq 0}$ e $\tau^{\geq 1}X \in \mathcal{T}^{\geq 1}$ O coração $\mathcal{H} = \mathcal{T}^{\leq 0} \cap \mathcal{T}^{\geq 0}$ de uma t-estrutura é uma categoria abeliana, estabelecendo uma ponte crucial entre a estrutura triangulada e a estrutura abeliana subjacente. ## 2. Revisão da Literatura ### 2.1 Desenvolvimento Histórico e Fundamentos Teóricos O desenvolvimento das categorias derivadas tem suas raízes nos trabalhos seminais de Grothendieck sobre cohomologia de feixes e dualidade [3]. A formalização rigorosa por Verdier [1] estabeleceu os fundamentos da teoria moderna, introduzindo a localização de categorias e os axiomas das categorias trianguladas. Hartshorne [4] posteriormente desenvolveu aplicações sistemáticas em geometria algébrica, particularmente no contexto de dualidade de Grothendieck-Serre. A introdução das t-estruturas por Beilinson, Bernstein e Deligne [2] no estudo de feixes perversos sobre variedades estratificadas marcou um ponto de inflexão na teoria. Seu trabalho demonstrou que a categoria de feixes perversos forma o coração de uma t-estrutura natural em $D^b_c(\mathbb{C}_X)$, a categoria derivada limitada de feixes construtíveis sobre uma variedade algébrica complexa $X$. ### 2.2 Desenvolvimentos Recentes e Aplicações Bridgeland [5] revolucionou o campo ao introduzir as condições de estabilidade em categorias trianguladas, generalizando a noção clássica de estabilidade de Mumford para feixes coerentes. Uma condição de estabilidade $\sigma = (Z, \mathcal{P})$ consiste de um homomorfismo de grupos $Z: K(\mathcal{T}) \to \mathbb{C}$ (a função central) e uma família de subcategorias $\mathcal{P}(\phi) \subset \mathcal{T}$ para $\phi \in \mathbb{R}$, satisfazendo: $$Z(\mathcal{P}(\phi)) \subset \mathbb{R}_{>0} \cdot e^{i\pi\phi}$$ para objetos não-zero em $\mathcal{P}(\phi)$, junto com axiomas de compatibilidade com a estrutura triangulada. Kontsevich [6] propôs a conjectura de homological mirror symmetry, estabelecendo uma equivalência entre a categoria derivada de feixes coerentes $D^b(\text{Coh}(X))$ de uma variedade de Calabi-Yau $X$ e a categoria de Fukaya derivada $D^b\mathcal{F}uk(X^{\vee})$ de sua variedade mirror $X^{\vee}$. Esta conjectura tem motivado desenvolvimentos profundos na teoria de categorias derivadas, incluindo trabalhos de Seidel [7] sobre categorias de Fukaya e Orlov [8] sobre equivalências derivadas. ### 2.3 Teoria de Representações e Categorias Derivadas A aplicação de categorias derivadas à teoria de representações tem produzido resultados notáveis. Rickard [9] estabeleceu o teorema fundamental de equivalência derivada para álgebras de dimensão finita, demonstrando que duas álgebras $A$ e $B$ são derivadamente equivalentes se e somente se existe um complexo tilting $T \in D^b(\text{mod}-A)$ tal que: $$\text{End}_{D^b(\text{mod}-A)}(T) \cong B$$ Keller [10] desenvolveu extensivamente a teoria de categorias derivadas de dg-categorias, fornecendo um framework unificado para muitas construções em álgebra homológica. A categoria derivada $D_{dg}(\mathcal{C})$ de uma dg-categoria $\mathcal{C}$ admite uma estrutura triangulada natural com functores de localização universais. ## 3. Metodologia e Construções Fundamentais ### 3.1 Construção da Categoria Derivada Seja $\mathcal{A}$ uma categoria abeliana. A construção da categoria derivada $D(\mathcal{A})$ procede através dos seguintes passos: 1. **Categoria de Complexos**: Consideramos $\text{Ch}(\mathcal{A})$, a categoria de complexos de objetos em $\mathcal{A}$: $$\cdots \to X^{n-1} \xrightarrow{d^{n-1}} X^n \xrightarrow{d^n} X^{n+1} \to \cdots$$ com $d^{n+1} \circ d^n = 0$. 2. **Categoria Homotópica**: Formamos $K(\mathcal{A})$ identificando morfismos homotópicos. Dois morfismos $f, g: X^\bullet \to Y^\bullet$ são homotópicos se existe $h^n: X^n \to Y^{n-1}$ tal que: $$f^n - g^n = d_Y^{n-1} \circ h^n + h^{n+1} \circ d_X^n$$ 3. **Localização de Verdier**: A categoria derivada $D(\mathcal{A})$ é obtida pela localização de $K(\mathcal{A})$ com respeito aos quasi-isomorfismos: $$D(\mathcal{A}) = K(\mathcal{A})[S^{-1}]$$ onde $S$ é a classe de quasi-isomorfismos. ### 3.2 Estrutura Triangulada A estrutura triangulada em $D(\mathcal{A})$ é induzida pela estrutura em $K(\mathcal{A})$. O functor de translação é dado pelo shift de complexos: $$(X[1])^n = X^{n+1}, \quad d_{X[1]}^n = -d_X^{n+1}$$ Os triângulos distinguidos são aqueles isomorfos a triângulos da forma: $$X^\bullet \xrightarrow{f} Y^\bullet \to \text{Cone}(f) \to X^\bullet[1]$$ onde o cone de mapping é definido por: $$\text{Cone}(f)^n = Y^n \oplus X^{n+1}, \quad d_{\text{Cone}(f)}^n = \begin{pmatrix} d_Y^n & f^{n+1} \\ 0 & -d_X^{n+1} \end{pmatrix}$$ ### 3.3 Functores Derivados Para um functor aditivo $F: \mathcal{A} \to \mathcal{B}$ entre categorias abelianas, o functor derivado à direita $RF: D^+(\mathcal{A}) \to D^+(\mathcal{B})$ é construído através de resoluções injetivas. Se $\mathcal{A}$ tem suficientes injetivos e $X^\bullet \in D^+(\mathcal{A})$, então: $$RF(X^\bullet) = F(I^\bullet)$$ onde $X^\bullet \to I^\bullet$ é um quasi-isomorfismo com $I^\bullet$ um complexo de objetos injetivos. A existência e unicidade (até isomorfismo canônico) de $RF$ seguem do teorema de representabilidade de Brown-Neeman [11]. ## 4. Análise das t-Estruturas ### 4.1 Propriedades Fundamentais Teorema 4.1 (Beilinson-Bernstein-Deligne [2]): Seja $(\mathcal{T}^{\leq 0}, \mathcal{T}^{\geq 0})$ uma t-estrutura em uma categoria triangulada $\mathcal{T}$. Então: 1. Os functores de truncamento $\tau^{\leq n}, \tau^{\geq n}: \mathcal{T} \to \mathcal{T}$ são adjuntos: $$\tau^{\leq n} \dashv i^{\leq n} \dashv \tau^{\geq n+1}$$ onde $i^{\leq n}: \mathcal{T}^{\leq n} \hookrightarrow \mathcal{T}$ é a inclusão. 2. O coração $\mathcal{H} = \mathcal{T}^{\leq 0} \cap \mathcal{T}^{\geq 0}$ é uma categoria abeliana. 3. Os functores de cohomologia $H^n: \mathcal{T} \to \mathcal{H}$ definidos por: $$H^n(X) = \tau^{\leq 0}\tau^{\geq 0}(X[n])$$ formam um $\delta$-functor cohomológico. **Demonstração**: A prova procede por verificação direta dos axiomas de categoria abeliana para $\mathcal{H}$. O morfismo zero em $\mathcal{H}$ é o morfismo zero em $\mathcal{T}$. Para $f: X \to Y$ em $\mathcal{H}$, construímos $\ker(f)$ e $\text{coker}(f)$ usando os triângulos distinguidos: $$\tau^{\leq -1}(\text{Cone}(f)) \to X \xrightarrow{f} Y \to \tau^{\geq 0}(\text{Cone}(f))$$ onde $\ker(f) = \tau^{\geq 0}(\tau^{\leq -1}(\text{Cone}(f))[1])$ e $\text{coker}(f) = \tau^{\leq 0}\tau^{\geq 0}(\text{Cone}(f))$. □ ### 4.2 t-Estruturas em Geometria Algébrica Para uma variedade projetiva suave $X$ sobre um corpo $k$, a categoria derivada limitada $D^b(\text{Coh}(X))$ admite a t-estrutura padrão: $$D^{\leq 0} = \{E^\bullet \in D^b(\text{Coh}(X)) : H^i(E^\bullet) = 0 \text{ para } i > 0\}$$ $$D^{\geq 0} = \{E^\bullet \in D^b(\text{Coh}(X)) : H^i(E^\bullet) = 0 \text{ para } i < 0\}$$ O coração desta t-estrutura é precisamente $\text{Coh}(X)$, a categoria de feixes coerentes sobre $X$. ### 4.3 Feixes Perversos e t-Estruturas Seja $X$ uma variedade algébrica complexa com uma estratificação $X = \bigsqcup_{\alpha} X_\alpha$. A t-estrutura perversa em $D^b_c(\mathbb{C}_X)$ é definida por: $${}^p D^{\leq 0} = \{K \in D^b_c(\mathbb{C}_X) : \dim \text{supp}(H^j(K|_{X_\alpha})) \leq -j - \dim X_\alpha \text{ para todo } \alpha\}$$ O coração $\text{Perv}(X)$ desta t-estrutura é a categoria de feixes perversos, fundamental em teoria de representações geométrica [12]. ## 5. Estabilidade de Bridgeland e Espaços de Moduli ### 5.1 Condições de Estabilidade Definição 5.1: Uma condição de estabilidade de Bridgeland em uma categoria triangulada $\mathcal{T}$ é um par $\sigma = (Z, \mathcal{P})$ onde: 1. $Z: K(\mathcal{T}) \to \mathbb{C}$ é um homomorfismo de grupos (função central) 2. $\mathcal{P} = \{\mathcal{P}(\phi)\}_{\phi \in \mathbb{R}}$ é uma família de subcategorias plenas satisfazendo: - $\mathcal{P}(\phi + 1) = \mathcal{P}(\phi)[1]$ - Se $\phi_1 > \phi_2$ e $A_i \in \mathcal{P}(\phi_i)$, então $\text{Hom}(A_1, A_2) = 0$ - $Z(\mathcal{P}(\phi)) \subset \mathbb{R}_{>0} \cdot e^{i\pi\phi}$ para objetos não-zero - Condição de Harder-Narasimhan: Todo objeto admite uma filtração única com fatores semi-estáveis O espaço de condições de estabilidade $\text{Stab}(\mathcal{T})$ tem uma topologia natural que o torna uma variedade complexa de dimensão finita quando $\mathcal{T}$ tem rank finito [5]. ### 5.2 Aplicações à Geometria Enumerativa Para uma superfície K3 $S$, Bridgeland [13] demonstrou que $\text{Stab}(D^b(\text{Coh}(S)))$ é um espaço covering do período de domínios: $$\text{Stab}(D^b(\text{Coh}(S))) \to \mathcal{P}_0(S) \times \text{GL}^+(2, \mathbb{R})$$ onde $\mathcal{P}_0(S)$ é o espaço de estruturas complexas marcadas em $S$. Esta correspondência tem aplicações profundas na contagem de curvas em superfícies K3, conectando invariantes de Gromov-Witten com invariantes de Donaldson-Thomas [14]. ## 6. Equivalências Derivadas e Correspondências de McKay ### 6.1 Teorema de Rickard Teorema 6.1 (Rickard [9]): Sejam $A$ e $B$ álgebras de dimensão finita sobre um corpo $k$. As seguintes condições são equivalentes: 1. $D^b(\text{mod}-A) \simeq D^b(\text{mod}-B)$ como categorias trianguladas 2. Existe um complexo tilting $T \in D^b(\text{mod}-A)$ tal que $\text{End}_{D^b(\text{mod}-A)}(T) \cong B$ 3. $B$ é Morita equivalente a $\text{End}_{K^b(\text{proj}-A)}(P)$ para algum complexo $P$ de $A$-módulos projetivos finitamente gerados ### 6.2 Correspondência de McKay Derivada Para um grupo finito $G \subset \text{SL}(n, \mathbb{C})$ agindo em $\mathbb{C}^n$, a correspondência de McKay derivada estabelece uma equivalência: $$D^b(\text{Coh}(Y)) \simeq D^b_G(\text{Coh}(\mathbb{C}^n))$$ onde $Y$ é a resolução crepante de $\mathbb{C}^n/G$ e $D^b_G(\text{Coh}(\mathbb{C}^n))$ é a categoria derivada equivariante [15]. Esta equivalência é realizada pelo functor de Fourier-Mukai com kernel o feixe estrutural do gráfico da resolução: $$\Phi_{\mathcal{O}_\Gamma}: D^b(\text{Coh}(Y)) \to D^b_G(\text{Coh}(\mathbb{C}^n))$$ ## 7. K-Teoria e Cohomologia de Hochschild ### 7.1 K-Teoria de Categorias Trianguladas A K-teoria de uma categoria triangulada $\mathcal{T}$ é definida como o grupo de Grothendieck: $$K_0(\mathcal{T}) = \mathbb{Z}\langle\text{Ob}(\mathcal{T})\rangle / \langle[Y] - [X] - [Z] : X \to Y \to Z \to X[1] \text{ triângulo distinguido}\rangle$$ Para $D^b(\text{Coh}(X))$ onde $X$ é uma variedade projetiva suave, temos um isomorfismo: $$K_0(D^b(\text{Coh}(X))) \cong K_0(X)$$ onde $K_0(X)$ é o grupo de Grothendieck de feixes coerentes [16]. ### 7.2 Cohomologia de Hochschild e Estrutura de Gerstenhaber A cohomologia de Hochschild de uma categoria triangulada $\mathcal{T}$ é definida por: $$HH^n(\mathcal{T}) = \text{Hom}_{D(\mathcal{T} \otimes \mathcal{T}^{op})}(\Delta_*, \Delta_*[n])$$ onde $\Delta_*: \mathcal{T} \to \mathcal{T} \otimes \mathcal{T}^{op}$ é o functor diagonal. Para $X$ variedade projetiva suave, o teorema de Hochschild-Kostant-Rosenberg fornece: $$HH^*(\text{Coh}(X)) \cong \bigoplus_{p+q=*} H^q(X, \Lambda^p T_X)$$ com a estrutura de álgebra de Gerstenhaber induzida pelo produto cup e o bracket de Schouten [17]. ## 8. Aplicações e Desenvolvimentos Recentes ### 8.1 Homological Mirror Symmetry A conjectura de Kontsevich [6] tem sido verificada em casos específicos: 1. **Curvas elípticas**: Polishchuk-Zaslow [18] estabeleceram HMS para curvas elípticas 2. **Quarticas em $\mathbb{P}^3$**: Seidel [7] provou HMS para a quartica de Fermat 3. **Variedades tóricas**: Abouzaid [19] desenvolveu técnicas de wrapped Fukaya categories ### 8.2 Categorias de Cluster e t-Estruturas As categorias de cluster introduzidas por Buan et al. [20] admitem t-estruturas naturais conectadas com a teoria de representações de quivers. Para um quiver de Dynkin $Q$, a categoria de cluster $\mathcal{C}_Q$ é definida como: $$\mathcal{C}_Q = D^b(\text{mod}-kQ) / \tau^{-1}[1]$$ onde $\tau$ é o functor de Auslander-Reiten. ## 9. Conclusão e Perspectivas Futuras O estudo das categorias derivadas e t-estruturas continua a ser uma área vibrante de pesquisa com conexões profundas em diversas áreas da matemática. Os desenvolvimentos recentes incluem: 1. **Geometria Algébrica Derivada**: A teoria de stacks derivados e esquemas derivados de Toën-Vezzosi fornece um contexto natural para categorias derivadas não-limitadas 2. **Categorias de Fukaya e Geometria Simplética**: O desenvolvimento de técnicas de wrapped Fukaya categories e stops tem permitido avanços significativos em HMS 3. **Teoria de Representações Geométrica**: As t-estruturas exóticas em categorias derivadas de feixes construtíveis têm aplicações em teoria de representações de grupos de Lie 4. **Física Matemática**: Condições de estabilidade aparecem naturalmente em teoria de cordas e gauge theory supersimétrica ### Limitações e Questões Abertas Várias questões fundamentais permanecem abertas: 1. A existência de condições de estabilidade em categorias derivadas de variedades de dimensão superior a 3 2. A estrutura completa do espaço de t-estruturas em $D^b(\text{Coh}(X))$ para variedades gerais 3. A relação precisa entre equivalências derivadas e birational geometry em dimensão superior O desenvolvimento futuro da teoria requer avanços em: - Técnicas computacionais para categorias derivadas - Generalização de condições de estabilidade para categorias dg-enhanced - Aplicações em machine learning e ciência de dados através de persistent homology ## Referências [1] Verdier, J.L. (1996). "Des catégories dérivées des catégories abéliennes". Astérisque, 239. Société Mathématique de France. https://doi.org/10.24033/ast.367 [2] Beilinson, A., Bernstein, J., Deligne, P. (1982). "Faisceaux pervers". Astérisque, 100. Société Mathématique de France. https://doi.org/10.24033/ast.5 [3] Grothendieck, A. (1957). "Sur quelques points d'algèbre homologique". Tohoku Mathematical Journal, 9(2), 119-221. https://doi.org/10.2748/tmj/1178244839 [4] Hartshorne, R. (1966). "Residues and Duality". Lecture Notes in Mathematics, 20. Springer-Verlag. https://doi.org/10.1007/BFb0080482 [5] Bridgeland, T. 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