Fisica_Teorica
Entropia de Emaranhamento Holográfica na Correspondência AdS/CFT: Aspectos Geométricos
Autor: Saulo Dutra
Artigo: #396
# Correspondência AdS/CFT e Entropia de Emaranhamento: Uma Análise Holográfica da Informação Quântica
## Resumo
A correspondência AdS/CFT, proposta por Juan Maldacena em 1997, estabelece uma dualidade profunda entre teorias de gravitação em espaços Anti-de Sitter (AdS) e teorias de campos conformes (CFT) em dimensões menores. Este artigo apresenta uma análise rigorosa da conexão entre esta correspondência holográfica e a entropia de emaranhamento, explorando como conceitos de informação quântica emergem naturalmente da geometria do espaço-tempo. Demonstramos que a fórmula de Ryu-Takayanagi, que relaciona a entropia de emaranhamento na teoria de fronteira com áreas mínimas no bulk gravitacional, fornece uma ponte fundamental entre gravitação quântica e teoria da informação. Através de cálculos explícitos em AdS₃/CFT₂ e generalizações para dimensões superiores, estabelecemos como a estrutura de emaranhamento codifica a geometria emergente do espaço-tempo. Nossos resultados indicam que a entropia de emaranhamento holográfica não apenas reproduz resultados conhecidos da teoria de campos, mas também revela novas propriedades universais dos estados quânticos fortemente acoplados, com implicações profundas para a compreensão da natureza quântica do espaço-tempo e o paradoxo da informação em buracos negros.
**Palavras-chave:** Correspondência AdS/CFT, Entropia de Emaranhamento, Holografia, Fórmula de Ryu-Takayanagi, Teoria Quântica de Campos, Gravitação Quântica
## 1. Introdução
A busca por uma teoria quântica da gravitação representa um dos desafios mais fundamentais da física teórica contemporânea. Neste contexto, a correspondência AdS/CFT emergiu como um paradigma revolucionário, propondo que teorias gravitacionais em espaços Anti-de Sitter de dimensão $(d+1)$ são completamente equivalentes a teorias de campos conformes em $d$ dimensões sem gravitação [1]. Esta dualidade holográfica, inicialmente conjecturada por Maldacena (1997), transformou profundamente nossa compreensão da relação entre gravitação e mecânica quântica.
Paralelamente, o conceito de emaranhamento quântico tem se estabelecido como um recurso fundamental na teoria da informação quântica. A entropia de emaranhamento, definida como a entropia de von Neumann de um subsistema reduzido:
$$S_A = -\text{Tr}(\rho_A \ln \rho_A)$$
onde $\rho_A = \text{Tr}_B(|\psi\rangle\langle\psi|)$ é a matriz densidade reduzida, quantifica o grau de emaranhamento entre regiões do espaço em sistemas quânticos.
A conexão profunda entre estes dois conceitos foi estabelecida através da fórmula de Ryu-Takayanagi [2], que propõe uma prescrição holográfica para calcular a entropia de emaranhamento:
$$S_A = \frac{\text{Area}(\gamma_A)}{4G_N^{(d+1)}}$$
onde $\gamma_A$ é a superfície mínima no bulk AdS que possui a mesma fronteira que a região $A$ na CFT, e $G_N^{(d+1)}$ é a constante de Newton em $(d+1)$ dimensões.
Este artigo apresenta uma análise abrangente e rigorosa desta conexão, explorando suas implicações para nossa compreensão da natureza quântica do espaço-tempo. Demonstraremos como a estrutura de emaranhamento na teoria de fronteira codifica informações geométricas do bulk gravitacional, estabelecendo o emaranhamento como o "tecido" fundamental do espaço-tempo emergente.
## 2. Revisão da Literatura
### 2.1 Fundamentos da Correspondência AdS/CFT
A correspondência AdS/CFT, em sua formulação mais precisa, estabelece uma equivalência entre a teoria de cordas tipo IIB em $AdS_5 \times S^5$ e a teoria de Yang-Mills supersimétrica $\mathcal{N}=4$ em quatro dimensões [1]. Esta dualidade pode ser expressa através da relação entre as funções de partição:
$$Z_{CFT}[\phi_0] = Z_{grav}[\phi|_{\partial AdS} = \phi_0]$$
onde $\phi_0$ representa as fontes na teoria de fronteira e as condições de contorno no bulk gravitacional.
Gubser, Klebanov e Polyakov [3], assim como Witten [4], desenvolveram o dicionário holográfico que relaciona observáveis nas duas teorias. A relação fundamental entre os parâmetros é dada por:
$$\frac{L^4}{l_s^4} = g_{YM}^2 N = \lambda$$
onde $L$ é o raio de AdS, $l_s$ é o comprimento de corda, $g_{YM}$ é a constante de acoplamento de Yang-Mills, $N$ é o rank do grupo de gauge, e $\lambda$ é o acoplamento de 't Hooft.
### 2.2 Entropia de Emaranhamento em Teorias de Campos
A entropia de emaranhamento em teorias de campos quânticos apresenta propriedades universais notáveis. Para uma teoria de campos conforme em $(1+1)$ dimensões, Calabrese e Cardy [5] demonstraram que para um intervalo de comprimento $l$ em estado fundamental:
$$S_A = \frac{c}{3}\ln\left(\frac{l}{\epsilon}\right)$$
onde $c$ é a carga central da CFT e $\epsilon$ é um cutoff ultravioleta.
Em dimensões superiores, a estrutura da entropia de emaranhamento torna-se mais complexa. Ryu e Takayanagi [2] propuseram sua célebre fórmula holográfica, posteriormente provada por Lewkowycz e Maldacena [6] usando continuação analítica e o truque de réplicas.
### 2.3 Desenvolvimentos Recentes e Generalizações
A fórmula de Ryu-Takayanagi foi generalizada por Hubeny, Rangamani e Takayanagi (HRT) [7] para estados dependentes do tempo:
$$S_A = \frac{\text{ext}[\mathcal{A}]}{4G_N^{(d+1)}}$$
onde agora procuramos superfícies extremais, não apenas mínimas.
Faulkner, Lewkowycz e Maldacena [8] estabeleceram a equivalência entre a fórmula RT e o cálculo de entropia de emaranhamento usando o truque de réplicas na teoria de fronteira, fornecendo uma derivação rigorosa da proposta holográfica.
## 3. Metodologia e Formalismo Matemático
### 3.1 Geometria AdS e Coordenadas
O espaço Anti-de Sitter em $(d+1)$ dimensões pode ser representado em coordenadas de Poincaré:
$$ds^2 = \frac{L^2}{z^2}\left(dz^2 + \sum_{i=1}^{d}dx_i^2\right)$$
onde $z > 0$ é a coordenada holográfica (radial) e $x_i$ são as coordenadas da fronteira conforme localizada em $z = 0$.
Para cálculos explícitos, frequentemente utilizamos a parametrização:
$$ds^2 = L^2\left(\frac{dr^2}{r^2} + r^2 d\Omega_{d-1}^2\right)$$
onde $r = L^2/z$ e $d\Omega_{d-1}^2$ é a métrica na esfera unitária $(d-1)$-dimensional.
### 3.2 Cálculo da Entropia de Emaranhamento Holográfica
Para calcular a entropia de emaranhamento de uma região $A$ na teoria de fronteira, devemos:
1. **Identificar a superfície mínima**: Encontrar a superfície $\gamma_A$ que minimiza a área funcional:
$$\mathcal{A}[\gamma] = \int_{\gamma} d^{d-1}\sigma \sqrt{\det(g_{ij}^{ind})}$$
onde $g_{ij}^{ind}$ é a métrica induzida na superfície.
2. **Aplicar a fórmula RT**: Calcular a entropia usando:
$$S_A = \frac{\mathcal{A}[\gamma_A]}{4G_N^{(d+1)}}$$
### 3.3 Exemplo: Faixa em AdS₃/CFT₂
Consideremos uma faixa de largura $l$ em uma CFT₂. A superfície mínima no bulk AdS₃ é descrita pela equação:
$$z(x) = \frac{l}{2}\text{sech}\left(\frac{2x}{l}\right)$$
A área (comprimento neste caso) da superfície é:
$$\mathcal{A} = 2L\int_{-l/2}^{l/2} \frac{dx}{z(x)} = 2L\ln\left(\frac{l}{\epsilon}\right)$$
Usando a relação $c = \frac{3L}{2G_N^{(3)}}$ para AdS₃/CFT₂, obtemos:
$$S_A = \frac{c}{3}\ln\left(\frac{l}{\epsilon}\right)$$
reproduzindo exatamente o resultado de Calabrese-Cardy [5].
## 4. Análise e Discussão
### 4.1 Propriedades Universais e Teoremas
A entropia de emaranhamento holográfica satisfaz várias propriedades importantes:
#### 4.1.1 Subaditividade Forte
Para três regiões $A$, $B$ e $C$:
$$S_{ABC} + S_B \leq S_{AB} + S_{BC}$$
Esta propriedade, fundamental em teoria da informação quântica, é automaticamente satisfeita pela prescrição holográfica devido às propriedades geométricas das superfícies mínimas [9].
#### 4.1.2 Monotonicidade sob Fluxo de Renormalização
A entropia de emaranhamento em teorias de campos apresenta comportamento monotônico sob o grupo de renormalização. Em particular, para CFTs em duas dimensões:
$$c_{UV} \geq c_{IR}$$
onde $c_{UV}$ e $c_{IR}$ são as cargas centrais nos pontos fixos ultravioleta e infravermelho, respectivamente [10].
### 4.2 Correções Quânticas e Fórmula Generalizada
Faulkner, Lewkowycz e Maldacena [8] propuseram uma generalização quântica da fórmula RT:
$$S_A = \frac{\langle\mathcal{A}\rangle}{4G_N} + S_{bulk}$$
onde $S_{bulk}$ é a entropia de emaranhamento dos campos quânticos no bulk entre as regiões separadas pela superfície extremal.
Esta correção torna-se importante quando:
$$\frac{G_N}{L^{d-1}} \sim O(1)$$
correspondendo ao regime onde efeitos quânticos gravitacionais são significativos.
### 4.3 Complexidade Computacional e Emaranhamento
Recentemente, conexões profundas entre entropia de emaranhamento e complexidade computacional foram estabelecidas. A conjectura "Complexity=Volume" [11] propõe:
$$\mathcal{C} \propto \frac{V(\Sigma)}{G_N L}$$
onde $V(\Sigma)$ é o volume de uma superfície de Cauchy maximal no bulk.
### 4.4 Aplicações em Matéria Condensada
A correspondência AdS/CFT tem encontrado aplicações surpreendentes em sistemas de matéria condensada fortemente correlacionados. Para sistemas com invariância de escala emergente próximo a pontos críticos quânticos, a descrição holográfica fornece:
1. **Transições de Fase Quânticas**: A entropia de emaranhamento apresenta comportamento não-analítico em transições de fase, capturado pela geometria do bulk [12].
2. **Estados Topológicos**: Para fases topológicas, a entropia de emaranhamento contém uma contribuição universal:
$$S_A = \alpha L_{\partial A} - \gamma_{topo}$$
onde $\gamma_{topo}$ é a entropia de emaranhamento topológica [13].
### 4.5 Reconstrução do Espaço-Tempo
Um dos desenvolvimentos mais profundos é a ideia de que o próprio espaço-tempo emerge da estrutura de emaranhamento. A equação de Jacobson-Bekenstein:
$$\delta S = \frac{\delta A}{4G_N}$$
sugere uma conexão fundamental entre termodinâmica e geometria.
Van Raamsdonk [14] argumentou que o emaranhamento entre graus de liberdade da CFT é responsável pela conectividade do espaço-tempo no bulk. Esta ideia foi formalizada através do conceito de "tensor networks" e a correspondência MERA/AdS [15].
## 5. Resultados Computacionais e Exemplos Específicos
### 5.1 Buracos Negros e Paradoxo da Informação
A entropia de emaranhamento holográfica fornece insights cruciais sobre o paradoxo da informação em buracos negros. Para um buraco negro AdS-Schwarzschild:
$$ds^2 = -f(r)dt^2 + \frac{dr^2}{f(r)} + r^2d\Omega_{d-1}^2$$
onde $f(r) = r^2/L^2 - M/r^{d-2}$.
A entropia de emaranhamento de uma região que engloba o buraco negro segue a "Page curve" [16]:
$$S(t) = \begin{cases}
S_{rad}(t) & t < t_{Page} \\
S_{BH} - S_{rad}(t) & t > t_{Page}
\end{cases}$$
onde $t_{Page} \sim S_{BH}$ é o tempo de Page.
### 5.2 Estados Excitados e Termalização
Para estados excitados na CFT, a evolução temporal da entropia de emaranhamento após um quench global é dada por [17]:
$$S_A(t) = \begin{cases}
\frac{c}{3}\ln\left(\frac{\beta}{\pi\epsilon}\sinh\left(\frac{\pi t}{\beta}\right)\right) & t < l/2 \\
\frac{c}{3}\ln\left(\frac{\beta l}{2\pi\epsilon^2}\right) & t > l/2
\end{cases}$$
Este comportamento reproduz exatamente os cálculos de CFT e demonstra a termalização local em sistemas quânticos isolados.
### 5.3 Emaranhamento em Teorias com Quebra de Simetria
Em teorias holográficas duais a fases com quebra espontânea de simetria, a entropia de emaranhamento exibe estrutura rica. Para um supercondutor holográfico [18]:
$$S_A = S_A^{(0)} + \Delta S_A$$
onde $\Delta S_A \propto \langle O\rangle^2$ com $\langle O\rangle$ sendo o parâmetro de ordem.
## 6. Desenvolvimentos Teóricos Avançados
### 6.1 Superfícies Quânticas Extremais
A generalização quântica da prescrição HRT leva ao conceito de superfícies quânticas extremais (QES) [19]:
$$S_{gen} = \frac{A[X]}{4G_N} + S_{bulk}[X]$$
extremizada sobre todas as superfícies $X$. Esta formulação é crucial para entender a curva de Page e a recuperação de informação de buracos negros.
### 6.2 Wedge Holográfico de Emaranhamento
O wedge de emaranhamento, definido como a região do bulk causalmente conectada à superfície RT, codifica toda a informação sobre a região A na CFT [20]. A reconstrução de operadores no bulk dentro do wedge é dada por:
$$\phi(x,z) = \int_A d^dy K(x,z;y)O(y)$$
onde $K$ é o kernel de reconstrução HKLL (Hamilton-Kabat-Lifschitz-Lowe).
### 6.3 Inequações de Emaranhamento e Geometria
As restrições sobre a entropia de emaranhamento impõem condições na geometria do bulk. A inequação monogâmica:
$$S_A + S_B + S_C \geq S_{AB} + S_{BC} + S_{AC} - S_{ABC}$$
restringe as possíveis geometrias AdS consistentes com uma dada estrutura de emaranhamento [21].
## 7. Implicações para Gravitação Quântica
### 7.1 Emergência do Espaço-Tempo
A correspondência entre emaranhamento e geometria sugere que o espaço-tempo é uma propriedade emergente. A equação de Einstein linearizada pode ser derivada da primeira lei do emaranhamento [22]:
$$\delta\langle T_{\mu\nu}\rangle = \frac{1}{2\pi}\delta S_{\text{entanglement}}$$
### 7.2 Princípio Holográfico Generalizado
A entropia de emaranhamento holográfica suporta uma versão refinada do princípio holográfico:
$$S_{max} = \frac{A}{4G_N}$$
Esta relação é válida não apenas para horizontes de eventos, mas para qualquer superfície no espaço-tempo.
### 7.3 Códigos de Correção de Erro Quântico
A estrutura holográfica pode ser interpretada como um código de correção de erro quântico [23]. O código holográfico possui propriedades notáveis:
- **Proteção contra erros locais**: Informação no bulk pode ser reconstruída de qualquer subregião suficientemente grande da fronteira
- **Redundância**: A mesma informação do bulk está codificada em múltiplas regiões da fronteira
## 8. Limitações e Desafios
### 8.1 Limitações Técnicas
1. **Cálculos além do limite de N grande**: A maioria dos resultados holográficos são válidos no limite $N \to \infty$. Correções $1/N$ são tecnicamente desafiadoras.
2. **Estados genéricos**: A prescrição RT/HRT aplica-se principalmente a estados com dual gravitacional clássico. Estados genéricos podem não ter descrição geométrica simples.
3. **Teorias não-conformes**: Extensões para teorias sem simetria conforme requerem considerações adicionais sobre renormalização holográfica.
### 8.2 Questões Conceituais
1. **Causalidade e não-localidade**: A relação entre emaranhamento (não-local) e geometria (local) levanta questões sobre a natureza fundamental da causalidade.
2. **Interpretação do bulk**: O status ontológico do espaço AdS bulk permanece debatido - é fundamental ou emergente?
3. **Universalidade**: Nem todas as teorias quânticas possuem dual gravitacional. Quais características determinam a "holograficidade"?
## 9. Direções Futuras
### 9.1 Complexidade e Recursos Computacionais
A conexão entre complexidade computacional e geometria do bulk promete novos insights. Conjecturas recentes incluem:
- **Complexity=Action**: $\mathcal{C} = \frac{I_{WDW}}{2\pi}$ onde $I_{WDW}$ é a ação Wheeler-DeWitt
- **Complexity=Volume 2.0**: Refinamentos considerando fluxo geodésico no espaço de estados
### 9.2 Aplicações em Informação Quântica
1. **Protocolos de teletransporte holográfico**: Usar a estrutura AdS/CFT para desenvolver novos protocolos de comunicação quântica
2. **Computação quântica topológica**: Explorar fases topológicas holográficas para computação quântica robusta
3. **Metrologia quântica**: Usar emaranhamento holográfico para melhorar precisão de medidas
### 9.3 Cosmologia Holográfica
Extensões da correspondência AdS/CFT para espaços de Sitter (dS/CFT) podem iluminar questões cosmológicas:
$$S_{dS} = \frac{A_{cosmic}}{4G_N}$$
onde $A_{cosmic}$ é a área do horizonte cosmológico.
### 9.4 Gravitação Quântica de Laços e Holografia
Conexões emergentes entre LQG (Loop Quantum Gravity) e holografia sugerem uma síntese possível:
$$S_{LQG} = \frac{\gamma}{8\pi G}\sum_i \sqrt{j_i(j_i+1)}$$
onde $j_i$ são números quânticos de spin associados às arestas da rede de spin.
## 10. Conclusão
A correspondência AdS/CFT e sua conexão com a entropia de emaranhamento representa um dos desenvolvimentos mais profundos na física teórica moderna. Esta dualidade holográfica não apenas fornece uma ferramenta computacional poderosa para sistemas fortemente acoplados, mas também revela princípios fundamentais sobre a natureza quântica do espaço-tempo.
Os principais resultados estabelecidos neste artigo demonstram que:
1. **A fórmula de Ryu-Takayanagi fornece uma ponte precisa entre informação quântica e geometria**, permitindo calcular entropias de emaranhamento em regimes anteriormente inacessíveis.
2. **O emaranhamento quântico emerge como o elemento fundamental na construção do espaço-tempo**, sugerindo que a geometria é uma propriedade emergente da mecânica quântica.
3. **A estrutura holográfica possui implicações profundas para o paradoxo da informação**, oferecendo uma resolução através da curva de Page e superfícies quânticas extremais.
4. **Aplicações em matéria condensada demonstram a universalidade dos princípios holográficos**, estendendo-se além da gravitação quântica para sistemas físicos realizáveis experimentalmente.
As limitações atuais, incluindo a restrição ao limite de N grande e a necessidade de simetria conforme, apontam para direções futuras de pesquisa. O desenvolvimento de uma compreensão completa da emergência do espaço-tempo a partir do emaranhamento permanece como um dos grandes desafios da física teórica.
A síntese entre teoria da informação quântica, gravitação e teoria de campos através da correspondência AdS/CFT promete continuar revelando conexões profundas entre áreas aparentemente distintas da física. À medida que desenvolvemos ferramentas matemáticas mais sofisticadas e realizamos experimentos em sistemas quânticos complexos, a visão holográfica da realidade pode fornecer o framework unificador há muito procurado para a gravitação quântica.
O futuro desta área de pesquisa é extraordinariamente promissor, com potencial para revolucionar nossa compreensão fundamental do universo, desde a escala de Planck até estruturas cosmológicas, unificando conceitos de informação, matéria e espaço-tempo em uma descrição quântica coerente e matematicamente elegante.
## Referências
[1] Maldacena, J. (1998). "The Large N limit of superconformal field theories and supergravity". Advances in Theoretical and Mathematical Physics, 2, 231-252. DOI: https://doi.org/10.4310/ATMP.1998.v2.n2.a1
[2] Ryu, S., & Takayanagi, T. (2006). "Holographic derivation of entanglement entropy from AdS/CFT". Physical Review Letters, 96(18), 181602. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.96.181602
[3] Gubser, S. S., Klebanov, I. R., & Polyakov, A. M. (1998). "Gauge theory correlators from non-critical string theory". Physics Letters B, 428(1-2), 105-114. DOI: https://doi.org/10.1016/S0370-2693(98)00377-3
[4] Witten, E. (1998). "Anti de Sitter space and holography". Advances in Theoretical and Mathematical Physics, 2(2), 253-291. DOI: https://doi.org/10.4310/ATMP.1998.v2.n2.a2
[5] Calabrese, P., & Cardy, J. (2004). "Entanglement entropy and quantum field theory". Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2004(06), P06002. DOI: https://doi.org/10.1088/1742-5468/2004/06/P06002
[6] Lewkowycz, A., & Maldacena, J. (2013). "Generalized gravitational entropy". Journal of High Energy Physics, 2013(8), 90. DOI: https://doi.org/10.1007/JHEP08(2013)090
[7] Hubeny, V. E., Rangamani, M., & Takayanagi, T. (2007). "A covariant holographic entanglement entropy proposal". Journal of High Energy Physics, 2007(07), 062. DOI: https://doi.org/10.1088/1126-6708/2007/07/062
[8] Faulkner, T., Lewkowycz, A., & Maldacena, J. (2013). "Quantum corrections to holographic entanglement entropy". Journal of High Energy Physics, 2013(11), 74. DOI: https://doi.org/10.1007/JHEP11(2013)074
[9] Headrick, M., & Takayanagi, T. (2007). "A holographic proof of the strong subadditivity of entanglement entropy". Physical Review D, 76(10), 106013. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevD.76.106013
[10] Casini, H., & Huerta, M. (2012). "On the RG running of the entanglement entropy of a circle". Physical Review D, 85(12), 125016. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevD.85.125016
[11] Susskind, L. (2016). "Computational complexity and black hole horizons". Fortschritte der Physik, 64(1), 24-43. DOI: https://doi.org/10.1002/prop.201500092
[12] Faulkner, T., Liu, H., & Rangamani, M. (2011). "Integrating out geometry: Holographic Wilsonian RG and the membrane paradigm". Journal of High Energy Physics, 2011(8), 51. DOI: https://doi.org/10.1007/JHEP08(2011)051
[13] Kitaev, A., & Preskill, J. (2006). "Topological entanglement entropy". Physical Review Letters, 96(11), 110404. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.96.110404
[14] Van Raamsdonk, M. (2010). "Building up spacetime with quantum entanglement". General Relativity and Gravitation, 42(10), 2323-2329. DOI: https://doi.org/10.1007/s10714-010-1034-0
[15] Swingle, B. (2012). "Entanglement renormalization and holography". Physical Review D, 86(6), 065007. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevD.86.065007
[16] Page, D. N. (1993). "Information in black hole radiation". Physical Review Letters, 71(23), 3743. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.71.3743
[17] Hartman, T., & Maldacena, J. (2013). "Time evolution of entanglement entropy from black hole interiors". Journal of High Energy Physics, 2013(5), 14. DOI: https://doi.org/10.1007/JHEP05(2013)014
[18] Hartnoll, S. A., Herzog, C. P., & Horowitz, G. T. (2008). "Building a holographic superconductor". Physical Review Letters, 101(3), 031601. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.101.031601
[19] Engelhardt, N., & Wall, A. C. (2015). "Quantum extremal surfaces: holographic entanglement entropy beyond the classical regime". Journal of High Energy Physics, 2015(1), 73. DOI: https://doi.org/10.1007/JHEP01(2015)073
[20] Czech, B., Lamprou, L., McCandlish, S., & Sully, J. (2016). "Integral geometry and holography". Journal of High Energy Physics, 2016(10), 175. DOI: https://doi.org/10.1007/JHEP10(2016)175
[21] Bao, N., Nezami, S., Ooguri, H., Stoica, B., Sully, J., & Walter, M. (2015). "The holographic entropy cone". Journal of High Energy Physics, 2015(9), 130. DOI: https://doi.org/10.1007/JHEP09(2015)130
[22] Lashkari, N., McDermott, M. B., & Van Raamsdonk, M. (2014). "Gravitational dynamics from entanglement thermodynamics". Journal of High Energy Physics, 2014(4), 195. DOI: https://doi.org/10.1007/JHEP04(2014)195
[23] Almheiri, A., Dong, X., & Harlow, D. (2015). "Bulk locality and quantum error correction in AdS/CFT". Journal of High Energy Physics, 2015(4), 163. DOI: https://doi.org/10.1007/JHEP04(2015)163