Transições de Fase Quânticas em Isolantes Topológicos e Semimetais de Weyl

# Isolantes Topológicos e Semimetais de Weyl: Uma Perspectiva da Teoria Quântica de Campos e Suas Aplicações em Matéria Condensada ## Resumo Este artigo apresenta uma análise rigorosa e abrangente dos isolantes topológicos e semimetais de Weyl sob a perspectiva da teoria quântica de campos e física da matéria condensada. Exploramos as propriedades topológicas fundamentais destes sistemas, suas caracterizações matemáticas através de invariantes topológicos, e as implicações para a física de partículas e informação quântica. Utilizando o formalismo de teorias de gauge e conceitos de simetria, demonstramos como estas fases exóticas da matéria emergem naturalmente em sistemas de estado sólido. Particular atenção é dedicada aos estados de superfície protegidos topologicamente, à quiralidade dos férmions de Weyl, e às anomalias quânticas associadas. Discutimos ainda as conexões profundas com a correspondência AdS/CFT, emaranhamento quântico, e aplicações potenciais em computação quântica topológica. Nossa análise incorpora desenvolvimentos recentes na área, incluindo a realização experimental de semimetais de Weyl magnéticos e a descoberta de novas fases topológicas protegidas por simetrias cristalinas. **Palavras-chave:** Isolantes topológicos, Semimetais de Weyl, Invariantes topológicos, Férmions de Dirac, Anomalia quiral, Estados de superfície, Berry curvature ## 1. Introdução A descoberta dos isolantes topológicos e semimetais de Weyl representa uma das revoluções mais significativas na física da matéria condensada das últimas duas décadas, estabelecendo conexões profundas entre topologia, teoria quântica de campos e física de partículas [1]. Estes materiais exibem propriedades eletrônicas fundamentalmente distintas dos isolantes e condutores convencionais, caracterizadas por invariantes topológicos não-triviais que garantem a existência de estados de superfície robustos e protegidos contra perturbações locais. O conceito de ordem topológica em sistemas de matéria condensada emergiu inicialmente com a descoberta do efeito Hall quântico inteiro por von Klitzing em 1980 [2], onde a quantização da condutância Hall foi explicada através do invariante de Chern: $$C_1 = \frac{1}{2\pi} \int_{BZ} d^2k \, \mathcal{F}_{xy}(k)$$ onde $\mathcal{F}_{xy}(k) = \partial_x \mathcal{A}_y - \partial_y \mathcal{A}_x$ é a curvatura de Berry e $\mathcal{A}_i = i\langle u_k | \partial_{k_i} | u_k \rangle$ é a conexão de Berry. A generalização destes conceitos para três dimensões levou à predição teórica dos isolantes topológicos tridimensionais por Fu, Kane e Mele [3], caracterizados pelo invariante $\mathbb{Z}_2$: $$(-1)^{\nu} = \prod_{i=1}^{4} \frac{\text{Pf}[w(\Gamma_i)]}{\sqrt{\det[w(\Gamma_i)]}}$$ onde $\Gamma_i$ são os pontos de alta simetria na zona de Brillouin e $w_{mn}(k) = \langle u_{m,-k}|\Theta|u_{n,k}\rangle$ é a matriz de simetria de reversão temporal. Os semimetais de Weyl, por sua vez, representam a realização em matéria condensada dos férmions de Weyl sem massa, partículas elementares preditas teoricamente em 1929 mas nunca observadas como partículas fundamentais livres [4]. Estes sistemas são caracterizados por pontos de degenerescência isolados no espaço de momento, onde as bandas de valência e condução se tocam linearmente: $$H_{\text{Weyl}} = \pm \hbar v_F \sum_{i} k_i \sigma_i$$ onde $\sigma_i$ são as matrizes de Pauli e o sinal $\pm$ determina a quiralidade do ponto de Weyl. ## 2. Revisão da Literatura ### 2.1 Fundamentos Teóricos dos Isolantes Topológicos A teoria dos isolantes topológicos fundamenta-se na classificação topológica de Hamiltonianos de partícula única com gap de energia. Schnyder et al. [5] e Kitaev [6] desenvolveram independentemente a classificação completa das fases topológicas não-interagentes, conhecida como a "tabela periódica" dos isolantes topológicos. Esta classificação baseia-se em três simetrias discretas fundamentais: - **Simetria de reversão temporal (TRS):** $\Theta H(k) \Theta^{-1} = H(-k)$, com $\Theta^2 = \pm 1$ - **Simetria partícula-buraco (PHS):** $\Xi H(k) \Xi^{-1} = -H(-k)$, com $\Xi^2 = \pm 1$ - **Simetria quiral (CS):** $\Gamma H(k) \Gamma^{-1} = -H(k)$, com $\Gamma^2 = 1$ A presença ou ausência destas simetrias define dez classes de simetria de Altland-Zirnbauer [7], cada uma caracterizada por diferentes grupos de homotopia que classificam os possíveis invariantes topológicos. Para isolantes topológicos tridimensionais com simetria de reversão temporal (classe AII), o invariante topológico relevante é dado por quatro índices $\mathbb{Z}_2$ $(\nu_0; \nu_1, \nu_2, \nu_3)$, onde $\nu_0$ distingue entre isolantes topológicos fortes ($\nu_0 = 1$) e fracos ($\nu_0 = 0$) [8]. ### 2.2 Teoria Efetiva de Baixa Energia A física de baixa energia dos isolantes topológicos pode ser descrita pelo modelo de Dirac massivo: $$H = v_F (\vec{\alpha} \cdot \vec{k}) + m(k) \beta$$ onde $\alpha^i = \tau_x \otimes \sigma^i$ e $\beta = \tau_z \otimes \mathbb{I}$ são matrizes de Dirac $4 \times 4$, e $m(k)$ é uma função de massa dependente do momento. A transição topológica ocorre quando $m(k)$ muda de sinal, correspondendo à inversão de bandas. Zhang et al. [9] demonstraram que a resposta eletromagnética dos isolantes topológicos é descrita por um termo topológico adicional na ação efetiva: $$S_{\theta} = \frac{\alpha}{4\pi^2} \int d^3x \, dt \, \theta(x,t) \vec{E} \cdot \vec{B}$$ onde $\alpha = e^2/\hbar c$ é a constante de estrutura fina e $\theta = \pi$ para isolantes topológicos fortes. ### 2.3 Semimetais de Weyl: Propriedades Fundamentais Os semimetais de Weyl são caracterizados pela presença de pontos de Weyl - degenerescências isoladas entre bandas de condução e valência que atuam como monopolos magnéticos no espaço de momento [10]. A carga topológica de um ponto de Weyl é dada por: $$C = \frac{1}{2\pi} \oint_{S} d^2k \, \hat{n} \cdot \vec{\mathcal{F}}(k) = \pm 1$$ onde a integral é sobre uma superfície fechada $S$ envolvendo o ponto de Weyl. Uma consequência fundamental é que pontos de Weyl sempre aparecem em pares de quiralidades opostas, uma manifestação do teorema de Nielsen-Ninomiya [11]. A separação entre pontos de Weyl no espaço de momento leva ao surgimento de arcos de Fermi na superfície - estados de superfície únicos que conectam as projeções dos pontos de Weyl de quiralidades opostas. ## 3. Metodologia Teórica ### 3.1 Formalismo de Green e Teoria de Resposta Linear Para analisar as propriedades de transporte dos isolantes topológicos e semimetais de Weyl, empregamos o formalismo de funções de Green de não-equilíbrio. A função de Green retardada é definida como: $$G^R(\vec{k}, \omega) = \frac{1}{\omega - H(\vec{k}) + i\eta}$$ onde $\eta \to 0^+$ é um regulador infinitesimal. A condutividade óptica é calculada através da fórmula de Kubo: $$\sigma_{ij}(\omega) = \frac{i}{\omega + i\delta} \int \frac{d^3k}{(2\pi)^3} \sum_{n,m} \frac{f(E_n) - f(E_m)}{E_n - E_m} \frac{\langle n|v_i|m\rangle \langle m|v_j|n\rangle}{E_n - E_m - \omega - i\delta}$$ onde $v_i = \partial H/\partial k_i$ é o operador velocidade e $f(E)$ é a distribuição de Fermi-Dirac. ### 3.2 Cálculo de Invariantes Topológicos Para sistemas com simetria de inversão, o invariante $\mathbb{Z}_2$ pode ser calculado eficientemente através do método de Fu-Kane [12]: $$(-1)^{\nu_0} = \prod_{i=1}^{8} \delta(\Gamma_i)$$ onde $\delta(\Gamma_i) = \prod_{n \in \text{occ}} \xi_{2n}(\Gamma_i)$ é o produto das paridades das bandas ocupadas nos pontos invariantes de reversão temporal $\Gamma_i$. Para semimetais de Weyl, a separação entre pontos de Weyl pode ser quantificada através do momento dipolar topológico: $$\vec{D} = \sum_{\text{Weyl}} C_i \vec{k}_i$$ onde $C_i = \pm 1$ é a quiralidade e $\vec{k}_i$ é a posição do i-ésimo ponto de Weyl. ### 3.3 Teoria de Perturbação e Análise de Estabilidade A estabilidade dos estados topológicos sob perturbações é analisada através da teoria de perturbação de segunda ordem: $$E_n^{(2)} = \sum_{m \neq n} \frac{|\langle n|V|m\rangle|^2}{E_n^{(0)} - E_m^{(0)}}$$ Para perturbações que preservam as simetrias relevantes, demonstra-se que o gap de energia permanece finito, garantindo a robustez da fase topológica. ## 4. Análise e Discussão ### 4.1 Estados de Superfície e Correspondência Bulk-Boundary Um dos aspectos mais notáveis dos isolantes topológicos é a correspondência bulk-boundary, que estabelece uma relação direta entre os invariantes topológicos do bulk e o número de estados de superfície protegidos. Para um isolante topológico 3D forte, os estados de superfície formam um cone de Dirac único descrito pelo Hamiltoniano: $$H_{\text{surf}} = \hbar v_F (k_x \sigma_y - k_y \sigma_x)$$ Estes estados são protegidos pela simetria de reversão temporal e não podem ser localizados por desordem não-magnética, um fenômeno conhecido como ausência de localização de Anderson [13]. A densidade de estados de superfície exibe uma dependência linear com a energia: $$\rho(E) = \frac{|E|}{2\pi \hbar^2 v_F^2}$$ Esta assinatura característica foi observada experimentalmente através de espectroscopia de tunelamento por varredura (STM) em $\text{Bi}_2\text{Se}_3$ e $\text{Bi}_2\text{Te}_3$ [14]. ### 4.2 Anomalia Quiral e Transporte Anômalo Nos semimetais de Weyl, a separação entre pontos de Weyl de quiralidades opostas leva à emergência da anomalia quiral - a não-conservação da corrente quiral na presença de campos eletromagnéticos paralelos: $$\partial_\mu j^\mu_5 = -\frac{e^2}{2\pi^2 \hbar^2} \vec{E} \cdot \vec{B}$$ Esta anomalia manifesta-se experimentalmente como magnetocondutividade negativa quando $\vec{E} \parallel \vec{B}$, um fenômeno observado em diversos semimetais de Weyl incluindo TaAs [15] e $\text{Cd}_3\text{As}_2$ [16]. A condutividade longitudinal na presença da anomalia quiral é dada por: $$\sigma_{xx}(B) = \sigma_0 + \frac{e^2}{h} \frac{v_F \tau_{\text{inter}}}{L^2} B^2$$ onde $\tau_{\text{inter}}$ é o tempo de espalhamento entre vales e $L$ é o comprimento do sistema. ### 4.3 Conexões com Teoria de Campos e AdS/CFT A descrição efetiva dos semimetais de Weyl apresenta conexões profundas com a teoria quântica de campos em altas energias. O Lagrangiano efetivo para férmions de Weyl acoplados a campos de gauge é: $$\mathcal{L} = \bar{\psi} i \gamma^\mu (\partial_\mu - ie A_\mu - ib_\mu \gamma^5) \psi$$ onde $b_\mu$ é o campo de gauge axial que codifica a separação entre pontos de Weyl. Landsteiner et al. [17] demonstraram que a resposta quiral anômala dos semimetais de Weyl pode ser derivada através da correspondência AdS/CFT, estabelecendo uma dualidade holográfica entre semimetais de Weyl (d+1)-dimensionais e teorias de campos conformes d-dimensionais com anomalias. ### 4.4 Emaranhamento Quântico e Informação Topológica O espectro de emaranhamento fornece uma ferramenta poderosa para caracterizar fases topológicas. Para um sistema bipartido, a entropia de emaranhamento de von Neumann: $$S = -\text{Tr}(\rho_A \ln \rho_A)$$ exibe uma contribuição topológica universal. Para isolantes topológicos 2D, esta contribuição está relacionada ao invariante de Chern através de: $$S = \alpha L - \gamma + O(1/L)$$ onde $L$ é o comprimento da fronteira entre as regiões e $\gamma$ é a correção topológica. Li e Haldane [18] demonstraram que o espectro de emaranhamento de isolantes topológicos exibe uma estrutura característica que reflete os estados de borda, fornecendo uma assinatura inequívoca da ordem topológica mesmo em sistemas finitos. ### 4.5 Realizações Experimentais e Materiais A realização experimental de isolantes topológicos e semimetais de Weyl tem progredido rapidamente. Os primeiros isolantes topológicos 3D confirmados experimentalmente foram as ligas de bismuto: - **$\text{Bi}_{1-x}\text{Sb}_x$**: Primeiro isolante topológico 3D observado [19] - **$\text{Bi}_2\text{Se}_3$, $\text{Bi}_2\text{Te}_3$**: Isolantes topológicos com gap grande (~0.3 eV) [20] - **$\text{SmB}_6$**: Isolante topológico de Kondo [21] Para semimetais de Weyl, as realizações incluem: - **TaAs, NbAs**: Primeiros semimetais de Weyl confirmados [22] - **$\text{Co}_3\text{Sn}_2\text{S}_2$**: Semimetal de Weyl magnético [23] - **$\text{Cd}_3\text{As}_2$**: Semimetal de Dirac que pode ser convertido em Weyl [24] ### 4.6 Modelos Teóricos e Simulações Numéricas O modelo BHZ (Bernevig-Hughes-Zhang) fornece uma descrição mínima de isolantes topológicos 2D: $$H_{\text{BHZ}} = \begin{pmatrix} h(k) & 0 \\ 0 & h^*(-k) \end{pmatrix}$$ onde: $$h(k) = \epsilon(k) + \vec{d}(k) \cdot \vec{\sigma}$$ com $\epsilon(k) = C - D(k_x^2 + k_y^2)$ e $\vec{d}(k) = (Ak_x, Ak_y, M - B(k_x^2 + k_y^2))$. A transição topológica ocorre quando $M$ muda de sinal, correspondendo à mudança do invariante de Chern de 0 para $\pm 1$. Para semimetais de Weyl, um modelo mínimo de duas bandas é: $$H_{\text{WSM}} = \sum_{i,j} t_{ij} c_i^\dagger c_j + \lambda \sum_i \vec{S}_i \cdot \vec{\sigma} c_i^\dagger c_i$$ onde $\vec{S}_i$ é o momento magnético local e $\lambda$ é o acoplamento spin-órbita. ## 5. Aplicações e Perspectivas Futuras ### 5.1 Computação Quântica Topológica Os isolantes topológicos oferecem uma plataforma promissora para computação quântica topológica. Os estados de borda protegidos podem servir como qubits topológicos, intrinsecamente protegidos contra decoerência local. Fu e Kane [25] propuseram que a interface entre um isolante topológico e um supercondutor pode hospedar modos de Majorana: $$H_{\text{Majorana}} = \frac{i}{2} \sum_{ij} \gamma_i A_{ij} \gamma_j$$ onde $\gamma_i$ são operadores de Majorana satisfazendo $\{\gamma_i, \gamma_j\} = 2\delta_{ij}$. ### 5.2 Spintrônica Topológica A corrente de spin pura nos estados de superfície dos isolantes topológicos, combinada com o acoplamento spin-momento bloqueado: $$\langle \vec{s} \rangle = \frac{\hbar}{2} \frac{\vec{k} \times \hat{z}}{|\vec{k}|}$$ oferece novas possibilidades para dispositivos spintrônicos de baixa dissipação. ### 5.3 Fotônica e Metamateriais Topológicos Os conceitos de isolantes topológicos foram estendidos para sistemas fotônicos e acústicos, onde a propagação unidirecional de luz ou som é protegida topologicamente. O Hamiltoniano efetivo para cristais fotônicos topológicos: $$H_{\text{phot}} = \hbar \omega_0 a^\dagger a + \sum_{\langle ij \rangle} (t_{ij} a_i^\dagger a_j + \text{h.c.})$$ onde $t_{ij} = |t| e^{i\phi_{ij}}$ inclui fases de Peierls que quebram a simetria de reversão temporal. ## 6. Limitações e Desafios ### 6.1 Efeitos de Muitos Corpos A maioria das análises teóricas assume sistemas não-interagentes. Interações elétron-elétron podem levar a novas fases topológicas, como isolantes topológicos fracionários. O Hamiltoniano interagente: $$H = H_0 + \frac{1}{2} \sum_{ijkl} V_{ijkl} c_i^\dagger c_j^\dagger c_k c_l$$ requer métodos não-perturbativos como DMRG ou Monte Carlo quântico. ### 6.2 Desordem e Localização Embora os estados topológicos sejam robustos contra desordem fraca, desordem forte pode induzir transições de fase topológicas. O diagrama de fases em função da desordem $W$ e parâmetros do Hamiltoniano requer análise de escala de tamanho finito: $$\nu(L) = \nu_\infty + a L^{-y}$$ onde $y$ é o expoente de correção de escala. ### 6.3 Temperatura Finita A maioria dos fenômenos topológicos requer temperaturas baixas $k_B T \ll \Delta$, onde $\Delta$ é o gap topológico. Efeitos térmicos podem ser incorporados através do formalismo de Matsubara: $$G(\vec{k}, i\omega_n) = \frac{1}{i\omega_n - H(\vec{k})}$$ onde $\omega_n = (2n+1)\pi k_B T$ são as frequências de Matsubara fermiônicas. ## 7. Conclusão Os isolantes topológicos e semimetais de Weyl representam uma nova classe de materiais quânticos que unificam conceitos fundamentais de topologia, teoria quântica de campos e matéria condensada. Suas propriedades únicas - estados de superfície protegidos, anomalia quiral, e transporte anômalo - não apenas desafiam nossa compreensão tradicional das fases da matéria, mas também abrem novos caminhos para aplicações tecnológicas revolucionárias. A conexão profunda entre estes sistemas e conceitos fundamentais da física de altas energias, como férmions de Weyl e anomalias quirais, demonstra a universalidade dos princípios topológicos através de diferentes escalas de energia. A correspondência AdS/CFT fornece uma ponte adicional entre a física de matéria condensada e teoria de cordas, sugerindo que os semimetais de Weyl podem servir como laboratórios terrestres para testar ideias da gravidade quântica. Os desafios remanescentes incluem o desenvolvimento de uma teoria completa para sistemas fortemente correlacionados, a realização de dispositivos práticos operando em temperatura ambiente, e a descoberta de novas fases topológicas protegidas por simetrias não-convencionais. O campo continua a evoluir rapidamente, com novas descobertas teóricas e experimentais expandindo constantemente as fronteiras do nosso conhecimento. A integração de conceitos de informação quântica, como emaranhamento e complexidade computacional, promete revelar conexões ainda mais profundas entre topologia e mecânica quântica. À medida que avançamos, os isolantes topológicos e semimetais de Weyl continuarão a servir como plataformas essenciais para explorar a física fundamental e desenvolver as tecnologias quânticas do futuro. ## Referências [1] Hasan, M. Z. & Kane, C. L. (2010). "Colloquium: Topological insulators". Reviews of Modern Physics, 82(4), 3045. DOI: https://doi.org/10.1103/RevModPhys.82.3045 [2] von Klitzing, K., Dorda, G., & Pepper, M. (1980). "New method for high-accuracy determination of the fine-structure constant based on quantized Hall resistance". Physical Review Letters, 45(6), 494. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.45.494 [3] Fu, L., Kane, C. L., & Mele, E. J. (2007). "Topological insulators in three dimensions". Physical Review Letters, 98(10), 106803. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.98.106803 [4] Weyl, H. (1929). "Elektron und gravitation. I". Zeitschrift für Physik, 56(5-6), 330-352. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01339504 [5] Schnyder, A. P., Ryu, S., Furusaki, A., & Ludwig, A. W. (2008). "Classification of topological insulators and superconductors in three spatial dimensions". Physical Review B, 78(19), 195125. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.78.195125 [6] Kitaev, A. (2009). "Periodic table for topological insulators and superconductors". AIP Conference Proceedings, 1134(1), 22-30. DOI: https://doi.org/10.1063/1.3149495 [7] Altland, A., & Zirnbauer, M. R. (1997). "Nonstandard symmetry classes in mesoscopic normal-superconducting hybrid structures". Physical Review B, 55(2), 1142. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.55.1142 [8] Moore, J. E. & Balents, L. (2007). "Topological invariants of time-reversal-invariant band structures". Physical Review B, 75(12), 121306. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.75.121306 [9] Zhang, H., Liu, C. X., Qi, X. L., Dai, X., Fang, Z., & Zhang, S. C. (2009). "Topological insulators in Bi2Se3, Bi2Te3 and Sb2Te3 with a single Dirac cone on the surface". Nature Physics, 5(6), 438-442. DOI: https://doi.org/10.1038/nphys1270 [10] Wan, X., Turner, A. M., Vishwanath, A., & Savrasov, S. Y. (2011). "Topological semimetal and Fermi-arc surface states in the electronic structure of pyrochlore iridates". Physical Review B, 83(20), 205101. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.83.205101 [11] Nielsen, H. B., & Ninomiya, M. (1983). "The Adler-Bell-Jackiw anomaly and Weyl fermions in a crystal". Physics Letters B, 130(6), 389-396. DOI: https://doi.org/10.1016/0370-2693(83)91529-0 [12] Fu, L., & Kane, C. L. (2007). "Topological insulators with inversion symmetry". Physical Review B, 76(4), 045302. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.76.045302 [13] Bardarson, J. H., Tworzydło, J., Brouwer, P. W., & Beenakker, C. W. J. (2007). "One-parameter scaling at the Dirac point in graphene". Physical Review Letters, 99(10), 106801. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.99.106801 [14] Xia, Y., Qian, D., Hsieh, D., Wray, L., Pal, A., Lin, H., ... & Hasan, M. Z. (2009). "Observation of a large-gap topological-insulator class with a single Dirac cone on the surface". Nature Physics, 5(6), 398-402. DOI: https://doi.org/10.1038/nphys1274 [15] Huang, X., Zhao, L., Long, Y., Wang, P., Chen, D., Yang, Z., ... & Chen, G. (2015). "Observation of the chiral-anomaly-induced negative magnetoresistance in 3D Weyl semimetal TaAs". Physical Review X, 5(3), 031023. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevX.5.031023 [16] Li, Q., Kharzeev, D. E., Zhang, C., Huang, Y., Pletikosić, I., Fedorov, A. V., ... & Valla, T. (2016). "Chiral magnetic effect in ZrTe5". Nature Physics, 12(6), 550-554. DOI: https://doi.org/10.1038/nphys3648 [17] Landsteiner, K., Megías, E., & Pena-Benitez, F. (2013). "Anomalous transport from Kubo formulae". Physical Review Letters, 107(2), 021601. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.107.021601 [18] Li, H., & Haldane, F. D. M. (2008). "Entanglement spectrum as a generalization of entanglement entropy: Identification of topological order in non-Abelian fractional quantum Hall effect states". Physical Review Letters, 101(1), 010504. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.101.010504 [19] Hsieh, D., Qian, D., Wray, L., Xia, Y., Hor, Y. S., Cava, R. J., & Hasan, M. Z. (2008). "A topological Dirac insulator in a quantum spin Hall phase". Nature, 452(7190), 970-974. DOI: https://doi.org/10.1038/nature06843 [20] Chen, Y. L., Analytis, J. G., Chu, J. H., Liu, Z. K., Mo, S. K., Qi, X. L., ... & Shen, Z. X. (2009). "Experimental realization of a three-dimensional topological insulator, Bi2Te3". Science, 325(5937), 178-181. DOI: https://doi.org/10.1126/science.1173034 [21] Dzero, M., Sun, K., Galitski, V., & Coleman, P. (2010). "Topological Kondo insulators". Physical Review Letters, 104(10), 106408. DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.104.106408 [22] Xu, S. Y., Belopolski