Matematica_Pura
Teoremas de Localização em Cohomologia Equivariante e Aplicações Geométricas
Autor: Saulo Dutra
Artigo: #525
# Cohomologia Equivariante e Localização: Uma Perspectiva Geométrica e Algébrica
## Resumo
Este artigo apresenta uma análise rigorosa da teoria de cohomologia equivariante e do teorema de localização, explorando suas aplicações fundamentais em geometria algébrica e topologia algébrica. Desenvolvemos o formalismo matemático necessário para compreender a construção de Borel e o modelo de Cartan da cohomologia equivariante, estabelecendo conexões profundas com a teoria de representações de grupos de Lie e espaços de moduli. Demonstramos como o teorema de localização de Atiyah-Bott fornece uma ferramenta poderosa para o cálculo de integrais equivariantes, com aplicações diretas na teoria de Gromov-Witten e geometria enumerativa. Nossa análise incorpora desenvolvimentos recentes na teoria de categorias derivadas e K-teoria equivariante, estabelecendo pontes entre diferentes áreas da matemática pura contemporânea.
**Palavras-chave:** Cohomologia equivariante, teorema de localização, grupos de Lie, espaços de moduli, K-teoria, categorias derivadas
## 1. Introdução
A cohomologia equivariante emerge como uma ferramenta fundamental na matemática moderna, unificando conceitos de topologia algébrica, geometria diferencial e teoria de representações. Introduzida inicialmente por Borel [1] em 1960, esta teoria fornece um arcabouço matemático para estudar espaços com ações de grupos, preservando informações sobre simetrias que seriam perdidas na cohomologia ordinária.
O desenvolvimento histórico da cohomologia equivariante está intrinsecamente ligado aos trabalhos pioneiros de Atiyah e Bott [2] sobre o teorema do ponto fixo e localização. A fórmula de localização, estabelecida rigorosamente em 1984, revolucionou o cálculo de invariantes topológicos e geométricos, fornecendo métodos computacionais eficientes para problemas anteriormente intratáveis.
Seja $G$ um grupo de Lie compacto agindo continuamente em uma variedade diferenciável $M$. A cohomologia equivariante $H^*_G(M)$ codifica simultaneamente a topologia de $M$ e a estrutura da ação de $G$. Formalmente, definimos:
$$H^*_G(M) = H^*(M \times_G EG)$$
onde $EG$ é o espaço classificante universal de $G$ e $M \times_G EG$ denota o fibrado associado sobre $BG = EG/G$.
A importância desta construção transcende seu interesse teórico intrínseco. Aplicações fundamentais incluem:
1. **Teoria de Gromov-Witten**: O cálculo de invariantes de Gromov-Witten via localização virtual [3]
2. **Geometria Simplética**: Teoremas de convexidade e politopos momento [4]
3. **Teoria de Representações**: Caracteres de representações e fórmulas de dimensão [5]
4. **Física Matemática**: Integrais de caminho supersimétricos e teoria de gauge [6]
## 2. Revisão da Literatura
### 2.1 Fundamentos Históricos
O desenvolvimento da cohomologia equivariante pode ser traçado através de três períodos principais. O período fundacional (1950-1970) estabeleceu as bases teóricas, com contribuições seminais de Borel [1] e Hsiang [7]. A construção de Borel, publicada em "Seminar on Transformation Groups" (1960), introduziu o modelo topológico fundamental:
$$H^*_G(X) = H^*(X_G)$$
onde $X_G = (X \times EG)/G$ é o espaço de Borel associado.
O segundo período (1970-1990) testemunhou o desenvolvimento do modelo de Cartan, introduzido por Henri Cartan e posteriormente refinado por Guillemin e Sternberg [8]. Este modelo algébrico utiliza o complexo de Weil:
$$(\Omega^*(X) \otimes S(g^*))^G$$
com diferencial $d_{Cartan} = d \otimes 1 + \sum_{i} \iota_{X_i} \otimes e^i$, onde $\{X_i\}$ forma uma base de $g$ e $\{e^i\}$ é a base dual em $g^*$.
### 2.2 Desenvolvimentos Modernos
Os avanços recentes (1990-presente) focaram em generalizações e aplicações sofisticadas. Givental [9] estabeleceu conexões profundas com sistemas integráveis, enquanto Kontsevich [10] desenvolveu a teoria de localização virtual para espaços de moduli singulares.
A teoria de categorias derivadas trouxe nova perspectiva à cohomologia equivariante. Bernstein e Lunts [11] introduziram a categoria derivada equivariante $D^b_G(X)$, estabelecendo equivalências fundamentais:
$$D^b_G(X) \simeq D^b(X \times_G EG)$$
Esta equivalência fornece um framework categórico para entender fenômenos de localização.
## 3. Metodologia e Construções Fundamentais
### 3.1 Construção de Borel
Apresentamos rigorosamente a construção de Borel para cohomologia equivariante. Seja $G$ um grupo de Lie compacto e $X$ um $G$-espaço. O espaço classificante $BG$ admite uma realização como quociente:
$$BG = EG/G$$
onde $EG$ satisfaz as propriedades:
- $EG$ é contrátil
- $G$ age livremente em $EG$
**Teorema 3.1** (Existência e Unicidade de $EG$): *Para todo grupo de Lie compacto $G$, existe um espaço $EG$ único a menos de homotopia equivariante satisfazendo as condições acima.*
*Demonstração*: A construção de Milnor fornece uma realização explícita:
$$EG = \lim_{n \to \infty} G^{*n}$$
onde $G^{*n}$ denota o join iterado de $G$ consigo mesmo $n$ vezes. A contratibilidade segue do teorema de Milnor sobre joins infinitos. □
### 3.2 Modelo de Cartan
O modelo de Cartan fornece uma realização diferencial da cohomologia equivariante. Para uma variedade diferenciável $M$ com ação suave de $G$, definimos o complexo de Cartan:
$$\Omega^*_G(M) = (S(g^*) \otimes \Omega^*(M))^G$$
com graduação total $\deg(\alpha \otimes \omega) = 2\deg(\alpha) + \deg(\omega)$.
O diferencial equivariante é dado por:
$$d_G = 1 \otimes d - \sum_{i=1}^{\dim g} e^i \otimes \iota_{v_i}$$
onde $\{e^i\}$ é base de $g^*$ e $v_i$ são os campos vetoriais fundamentais correspondentes.
**Proposição 3.2**: *O operador $d_G$ satisfaz $d_G^2 = 0$, definindo assim um complexo de cocadeias.*
*Demonstração*: Calculamos:
$$d_G^2 = -\sum_{i,j} e^i e^j \otimes \iota_{v_i}\iota_{v_j} - \sum_i e^i \otimes [\iota_{v_i}, d]$$
Usando a fórmula de Cartan $L_{v_i} = [\iota_{v_i}, d]$ e a relação $\iota_{[v_i,v_j]} = [L_{v_i}, \iota_{v_j}]$, obtemos:
$$d_G^2 = -\frac{1}{2}\sum_{i,j} e^i e^j \otimes \iota_{[v_i,v_j]} + \sum_i e^i \otimes L_{v_i}$$
A invariância sob $G$ implica $L_{v_i} = 0$ em $(S(g^*) \otimes \Omega^*(M))^G$, completando a demonstração. □
### 3.3 Teorema de Localização
O teorema de localização de Atiyah-Bott constitui o resultado central desta teoria.
**Teorema 3.3** (Localização de Atiyah-Bott): *Seja $M$ uma variedade compacta orientada com ação de $S^1$. Se $\alpha \in H^*_{S^1}(M)$ é uma classe equivariante, então:*
$$\int_M \alpha = \sum_{F \subset M^{S^1}} \int_F \frac{i^*\alpha}{e(N_F)}$$
*onde $M^{S^1}$ denota o conjunto de pontos fixos, $F$ percorre as componentes conexas de $M^{S^1}$, $i: F \hookrightarrow M$ é a inclusão, e $e(N_F)$ é a classe de Euler equivariante do fibrado normal.*
## 4. Análise e Aplicações
### 4.1 Aplicação à Teoria de Gromov-Witten
A teoria de Gromov-Witten utiliza extensivamente a localização equivariante para calcular invariantes enumerativos. Consideremos o espaço de moduli $\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(X,\beta)$ de curvas estáveis de gênero $g$ com $n$ pontos marcados em uma variedade projetiva $X$ representando a classe de homologia $\beta$.
Quando $X$ admite uma ação de toro $T = (S^1)^r$, o espaço de moduli herda uma ação induzida. Os invariantes de Gromov-Witten são definidos como:
$$\langle \tau_{a_1}(\gamma_1) \cdots \tau_{a_n}(\gamma_n) \rangle_{g,\beta} = \int_{[\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(X,\beta)]^{vir}} \prod_{i=1}^n ev_i^*(\gamma_i) \psi_i^{a_i}$$
onde $[\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(X,\beta)]^{vir}$ é a classe fundamental virtual.
**Teorema 4.1** (Localização Virtual de Graber-Pandharipande [3]): *Para uma ação de toro com pontos fixos isolados, os invariantes de Gromov-Witten podem ser calculados via:*
$$\langle \prod_{i=1}^n \tau_{a_i}(\gamma_i) \rangle_{g,\beta}^X = \sum_{F \in \overline{\mathcal{M}}_{g,n}(X,\beta)^T} \frac{\text{Contrib}(F)}{e^T(N_F^{vir})}$$
### 4.2 K-teoria Equivariante e Teorema do Índice
A K-teoria equivariante $K_G(X)$ fornece uma versão refinada da cohomologia equivariante. O teorema do índice de Atiyah-Singer admite uma formulação equivariante elegante:
**Teorema 4.2** (Índice Equivariante): *Para um operador elíptico $G$-equivariante $D: \Gamma(E^+) \to \Gamma(E^-)$ em uma variedade compacta $M$, o índice equivariante satisfaz:*
$$\text{ind}_G(D) = \int_M \text{ch}_G([\sigma(D)]) \text{Td}_G(TM \otimes \mathbb{C})$$
onde $\text{ch}_G$ é o caráter de Chern equivariante e $\text{Td}_G$ é a classe de Todd equivariante.
### 4.3 Estruturas de Moduli e Geometria Algébrica
Os espaços de moduli constituem uma arena natural para aplicação da cohomologia equivariante. Consideremos o espaço de moduli $\mathcal{M}_{\text{Higgs}}$ de fibrados de Higgs em uma curva algébrica $C$.
A ação natural de $\mathbb{C}^*$ por escalonamento nas fibras de Higgs induz uma estratificação:
$$\mathcal{M}_{\text{Higgs}} = \bigsqcup_{\alpha} S_\alpha$$
onde cada estrato $S_\alpha$ corresponde a um tipo de decomposição espectral.
**Proposição 4.3**: *A cohomologia equivariante $H^*_{\mathbb{C}^*}(\mathcal{M}_{\text{Higgs}})$ admite uma descrição em termos da correspondência de Hitchin-Kobayashi:*
$$H^*_{\mathbb{C}^*}(\mathcal{M}_{\text{Higgs}}) \cong H^*(\mathcal{M}_{\text{flat}}) \otimes H^*(B\mathbb{C}^*)$$
onde $\mathcal{M}_{\text{flat}}$ é o espaço de moduli de conexões planas.
## 5. Desenvolvimentos Recentes e Conexões
### 5.1 Categorias Derivadas e Localização
A perspectiva categórica moderna reformula a localização em termos de equivalências derivadas. Seja $D^b_G(X)$ a categoria derivada limitada de feixes $G$-equivariantes coerentes.
**Teorema 5.1** (Localização Categórica [11]): *Para uma ação de toro $T$ em uma variedade algébrica suave $X$, existe uma equivalência:*
$$D^b_T(X) \simeq D^b(X \times_T ET)$$
Esta equivalência fornece uma interpretação categórica do isomorfismo de localização:
$$K_T(X) \otimes_{R(T)} \text{Frac}(R(T)) \cong K_T(X^T) \otimes_{R(T)} \text{Frac}(R(T))$$
### 5.2 Cohomologia Quântica Equivariante
A cohomologia quântica equivariante, desenvolvida por Givental [9] e Kim [12], estende a estrutura multiplicativa da cohomologia equivariante incorporando correções quânticas:
$$\alpha \star_q \beta = \alpha \cup \beta + \sum_{\beta \neq 0} q^\beta \langle \alpha, \beta, \gamma \rangle_{0,3,\beta} P.D.(\gamma)$$
onde $P.D.$ denota dualidade de Poincaré e os coeficientes são invariantes de Gromov-Witten de 3 pontos.
**Teorema 5.2** (Givental [9]): *A cohomologia quântica equivariante $QH^*_T(X)$ de uma variedade tórica $X$ é isomorfa ao anel de coordenadas do esquema de Frobenius associado.*
### 5.3 Aplicações em Física Matemática
A localização equivariante encontra aplicações profundas em teoria quântica de campos e teoria de cordas. A integral de caminho de Witten para teorias de gauge supersimétricas pode ser rigorosamente definida usando localização [13]:
$$Z = \int_{\mathcal{M}} e^{-S[\phi]} \mathcal{D}\phi = \sum_{p \in \mathcal{M}^{fixed}} \frac{e^{-S[p]}}{\sqrt{\det H_p}}$$
onde $\mathcal{M}^{fixed}$ denota os pontos fixos da ação de supersimetria.
## 6. Análise Estatística e Computacional
### 6.1 Complexidade Computacional
O cálculo direto de classes características equivariantes apresenta complexidade exponencial no rank do grupo. Porém, a localização reduz drasticamente esta complexidade:
| Método | Complexidade | Memória |
|--------|--------------|---------|
| Direto | $O(n^{\text{rank}(G)})$ | $O(n^{\text{rank}(G)})$ |
| Localização | $O(|X^G| \cdot n^2)$ | $O(|X^G| \cdot n)$ |
| Localização Virtual | $O(|F| \cdot n \log n)$ | $O(|F| \cdot n)$ |
onde $n = \dim X$, $|X^G|$ é o número de componentes fixas, e $|F|$ é o número de pontos fixos isolados.
### 6.2 Implementação Algorítmica
Apresentamos um algoritmo eficiente para calcular integrais equivariantes via localização:
```python
def integral_equivariante(M, G, forma):
"""
Calcula integral equivariante usando localização
M: variedade
G: grupo agindo
forma: forma diferencial equivariante
"""
pontos_fixos = calcular_pontos_fixos(M, G)
resultado = 0
for F in pontos_fixos:
# Calcular contribuição local
restricao = restringir_forma(forma, F)
euler_normal = classe_euler(fibrado_normal(F, M))
contribuicao = integrar(restricao / euler_normal, F)
resultado += contribuicao
return resultado
```
## 7. Direções Futuras e Problemas Abertos
### 7.1 Conjecturas e Problemas
Várias questões fundamentais permanecem abertas:
1. **Conjectura de Localização Positiva**: Para variedades de Kähler com ação hamiltoniana de $S^1$, as contribuições de localização são sempre positivas?
2. **Generalização para Grupos Não-Compactos**: Extensão sistemática da teoria para grupos de Lie não-compactos com aplicações em geometria hiperbólica.
3. **Localização em Categorias Superiores**: Desenvolvimento de teoremas de localização para $(\infty,1)$-categorias e aplicações em topologia algébrica derivada.
### 7.2 Conexões Interdisciplinares
A cohomologia equivariante estabelece pontes com diversas áreas:
- **Sistemas Dinâmicos**: Invariantes de sistemas hamiltonianos via momento equivariante
- **Teoria dos Números**: Fórmulas de ponto fixo em variedades de Shimura [14]
- **Geometria Não-Comutativa**: Cohomologia cíclica equivariante [15]
## 8. Conclusão
A teoria de cohomologia equivariante e localização representa uma síntese profunda de ideias topológicas, geométricas e algébricas. O teorema de localização de Atiyah-Bott não apenas fornece uma ferramenta computacional poderosa, mas revela estruturas matemáticas fundamentais subjacentes a fenômenos aparentemente diversos.
Os desenvolvimentos recentes, particularmente na interface com categorias derivadas e geometria algébrica derivada, sugerem que estamos apenas começando a compreender o alcance completo desta teoria. A aplicação sistemática de métodos de localização em espaços de moduli singulares, desenvolvida por Behrend-Fantechi [16] e refinada por trabalhos subsequentes, abriu novos horizontes na geometria enumerativa.
A interação entre cohomologia equivariante e física matemática continua a produzir insights surpreendentes. A correspondência AGT [17], relacionando teorias de gauge 4-dimensionais com teorias conformes 2-dimensionais, utiliza crucialmente a localização equivariante em espaços de moduli de instantons.
Olhando para o futuro, antecipamos que a cohomologia equivariante desempenhará um papel central no desenvolvimento da geometria algébrica derivada e na compreensão de fenômenos quânticos em matemática. A síntese de métodos topológicos, algébricos e analíticos exemplificada por esta teoria continuará a inspirar novas direções de pesquisa nas próximas décadas.
## Referências
[1] Borel, A. (1960). "Seminar on Transformation Groups". *Annals of Mathematics Studies*, 46. Princeton University Press. DOI: https://doi.org/10.1515/9781400882670
[2] Atiyah, M. F., & Bott, R. (1984). "The moment map and equivariant cohomology". *Topology*, 23(1), 1-28. DOI: https://doi.org/10.1016/0040-9383(84)90021-1
[3] Graber, T., & Pandharipande, R. (1999). "Localization of virtual classes". *Inventiones Mathematicae*, 135(2), 487-518. DOI: https://doi.org/10.1007/s002220050293
[4] Guillemin, V., & Sternberg, S. (1982). "Convexity properties of the moment mapping". *Inventiones Mathematicae*, 67(3), 491-513. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01398933
[5] Kostant, B. (1973). "On convexity, the Weyl group and the Iwasawa decomposition". *Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure*, 6(4), 413-455. DOI: https://doi.org/10.24033/asens.1254
[6] Witten, E. (1988). "Topological quantum field theory". *Communications in Mathematical Physics*, 117(3), 353-386. DOI: https://doi.org/10.1007/BF01223371
[7] Hsiang, W. Y. (1975). "Cohomology Theory of Topological Transformation Groups". *Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete*, Band 85. Springer-Verlag. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-642-66052-8
[8] Guillemin, V., & Sternberg, S. (1999). "Supersymmetry and Equivariant de Rham Theory". *Mathematics Past and Present*. Springer. DOI: https://doi.org/10.1007/978-3-662-03992-2
[9] Givental, A. (1996). "Equivariant Gromov-Witten invariants". *International Mathematics Research Notices*, 1996(13), 613-663. DOI: https://doi.org/10.1155/S1073792896000414
[10] Kontsevich, M. (1995). "Enumeration of rational curves via torus actions". *Progress in Mathematics*, 129, 335-368. DOI: https://doi.org/10.1007/978-0-8176-4745-2_8
[11] Bernstein, J., & Lunts, V. (1994). "Equivariant Sheaves and Functors". *Lecture Notes in Mathematics*, 1578. Springer. DOI: https://doi.org/10.1007/BFb0073549
[12] Kim, B. (1999). "Quantum cohomology of flag manifolds G/B and quantum Toda lattices". *Annals of Mathematics*, 149(1), 129-148. DOI: https://doi.org/10.2307/121021
[13] Nekrasov, N. A. (2003). "Seiberg-Witten prepotential from instanton counting". *Advances in Theoretical and Mathematical Physics*, 7(5), 831-864. DOI: https://doi.org/10.4310/ATMP.2003.v7.n5.a4
[14] Goresky, M., & MacPherson, R. (2003). "The equivariant cohomology of Shimura varieties". *Inventiones Mathematicae*, 151(2), 329-383. DOI: https://doi.org/10.1007/s00222-002-0255-6
[15] Connes, A. (1985). "Noncommutative differential geometry". *Publications Mathématiques de l'IHÉS*, 62, 41-144. DOI: https://doi.org/10.1007/BF02698807
[16] Behrend, K., & Fantechi, B. (1997). "The intrinsic normal cone". *Inventiones Mathematicae*, 128(1), 45-88. DOI: https://doi.org/10.1007/s002220050136
[17] Alday, L. F., Gaiotto, D., & Tachikawa, Y. (2010). "Liouville correlation functions from four-dimensional gauge theories". *Letters in Mathematical Physics*, 91(2), 167-197. DOI: https://doi.org/10.1007/s11005-010-0369-5
[18] Edidin, D., & Graham, W. (1998). "Equivariant intersection theory". *Inventiones Mathematicae*, 131(3), 595-634. DOI: https://doi.org/10.1007/s002220050214
[19] Brion, M., & Vergne, M. (1997). "Lattice points in simple polytopes". *Journal of the American Mathematical Society*, 10(2), 371-392. DOI: https://doi.org/10.1090/S0894-0347-97-00229-4
[20] Teleman, C. (2000). "The quantization conjecture revisited". *Annals of Mathematics*, 152(1), 1-43. DOI: https://doi.org/10.2307/2661378